\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[slovene]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc} 

\usepackage{amsmath,amsfonts}

\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\textwidth}{4cm}

\addtolength{\voffset}{-1cm}
\addtolength{\textheight}{2cm}

\def\RR{\mathbb{R}}
\def\CC{\mathbb{C}}
\def\ZZ{\mathbb{Z}}
\def\NN{\mathbb{N}}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\Large

\begin{center}
\bf
  3. popravni kolokvij iz Osnov matemati"cne analize\\
  30. avgust 2012
\end{center}

\bigskip
\begin{enumerate}
%      \bigskip
 %  \item
 %     Z uporabo matematične indukcije dokaži, da za vsako število $n\in\NN$ velja: 
%      \begin{equation*}
%	 \sum_{k=1}^{n}\left( 3k^2-k-2 \right)=n(n+2)(n-1)\;.
%      \end{equation*}
      \bigskip
   \item 
      Poi"s"ci vsa kompleksna "stevila, ki rešijo neena"cbo
      \[
	 |z| > z\cdot \bar{z}.
      \]
     Mno\v zico vseh re\v sitev skiciraj v kompleksni ravnini. 
      
   \item
    Podana je funkcija
    \begin{equation*}
      f(x)=\frac{x}{1+x^2}\;.
    \end{equation*}
    \begin{itemize}
      \item 
	Poišči definicijsko območje funkcije $f$.
      \item
	 Določi ničle in pole funkcije $f$.
      \item
	Izračunaj odvod funkcije $f$ in določi morebitne lokalne ekstreme.
     \item
	Izracunaj točke, v katerih ima graf funkcije $f$ prevoje.
      \item
	Skiciraj funkcijo $f$.
    \end{itemize}

 \item
    Funkcijo ${ \displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x^2}} $ razvij v Taylorjovo vrsto okoli točke $x_0=0$. 
    
    ({\em Namig:} Najprej napi\v si Taylorjevo vrsto za funkcijo ${ \displaystyle\frac{1}{1+x^2}}$, pomagaj si z geometrijsko vrsto!). 
    
    S pomočjo Taylorjevega polinoma tretje stopnje nato oceni vrednost $f(1/2)$. Kaj ti
    Taylorjev izrek pove o višini maksimalne napake, ki si jo pri tako izračunani oceni
    funkcijske vrednosti lahko naredil? Kakšna je dejanska napaka, ki si jo naredil?

      \bigskip
   \item 
      Zapi\v si ploščino pod grafom funkcije $f(x)=\arcsin(x)$ na intervalu $\left[ 0,1 \right]$ v obliki integrala in jo izra\v cunaj (pomagaj si z integriranjem po delih).
      \bigskip
  \item
    Reši diferencialno enačbo.
    \begin{equation*}
       x^2y'-1=x\;,\qquad y(1)=0
    \end{equation*}

\end{enumerate}
{\sl "Cas re"sevanja je 90 minut. Vsaka naloga je vredna $25$ to"ck. Za $100\%$ zadostuje $100$ to"ck ($25$ to"ck je bonus).}\\
{\bf Odgovore  dobro utemelji!!}\\

\end{document} 
