Rešitve nalog, 3. teden

1. naloga

(a) \(A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1\end{bmatrix}\), \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}\).

(b) Ker je \(A\) ležeča matrika polnega ranga, lahko \(A^+\) izračunamo po formuli \(A^+ = A^\mathsf{T} (AA^\mathsf{T})^{-1}\). (Za pokončno matriko \(A\) polnega ranga pa imamo formulo \(A^+ = (A^\mathsf{T} A)^{-1}A^\mathsf{T}\).) Torej: \[ A^+ = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \\ -1 & -1\end{bmatrix}.\]

(c) \(A^+ A\) projicira na \(C(A^+) = C(A^\mathsf{T})\). To pa pomeni, da \(I -  A^+ A\) projicira na \(C(A^\mathsf{T})^\perp = N(A)\)

(d) Krajevni vektor točke na ravnini, ki je najbližja \(T\), je vsota pravokotne projekcije \(\mathbf{r}_T\) na \(N(A)\) in krajevnega vektorja točke na ravnini, ki je najbližje koordinatnemu izhodišču. Prvega lahko izrazimo kot \((I - A^+ A)\mathbf{r}_T\) drugega pa kot \(A^+ \mathbf{b}\). Dobimo \[\mathbf{r}_{T'} = (I - A^+ A)\mathbf{r}_T + A^+ \mathbf{b} = \mathbf{r}_T + A^+(\mathbf{b} - A\mathbf{r}_T).\]

(e) Funkcija projekcija.


Last modified: Wednesday, 29 March 2017, 12:36 PM